Modulacja Częstotliwości (FM)

Zasada modulacji częstotliwości

Modulacja częstotliwości (FM) przenosi informację na falę nośną o wysokiej częstotliwości. W AM zmienia się amplituda nośnej, natomiast w FM jej amplituda pozostaje stała, a częstotliwość chwilowa zmienia się proporcjonalnie do sygnału informacyjnego.

Dodatnia wartość sygnału modulującego zwiększa częstotliwość chwilową ponad częstotliwość nośnej, a wartość ujemna ją zmniejsza. Amplituda sygnału pozostaje stała, dlatego zmiany poziomu sygnału informacyjnego są odwzorowane w odstępach między kolejnymi okresami fali.

Składowe sygnału FM

Poniższy opis rozdziela sygnał modulujący, nośną i wynikowy sygnał FM.

• Sygnał modulujący: Górny przebieg to informacja, którą chcemy wysłać (np. sinusoidalna fala audio). Ma ona swoją amplitudę i częstotliwość.
• Fala nośna: Środkowy przebieg to fala nośna o wysokiej częstotliwości. Przed modulacją jej częstotliwość i amplituda są stałe.
• Zmodulowany sygnał FM: Dolny przebieg to rezultat. Jego amplituda jest stała, identyczna jak amplituda nośnej, a częstotliwość się zmienia:
  • Gdy sygnał modulujący osiąga swój szczyt (maksymalną dodatnią amplitudę), fale FM znajdują się najbliżej siebie, co oznacza najwyższą częstotliwość.
  • Gdy sygnał modulujący osiąga swoją dolinę (maksymalną ujemną amplitudę), odstępy między falami FM są największe, co oznacza najniższą częstotliwość.
  • Gdy sygnał modulujący przechodzi przez zero, częstotliwość fali FM jest dokładnie równa oryginalnej częstotliwości nośnej.

Matematyczny opis FM

Zależności te można zapisać za pomocą następujących sygnałów:

• Sygnał informacyjny (modulujący): $x_m(t)$
• Sygnał fali nośnej: $x_c(t) = A \cdot \cos(2\pi f_c t)$, gdzie $A$ to stała amplituda, a $f_c$ to stała częstotliwość nośnej.

Wynikowy zmodulowany sygnał FM, $y(t)$, jest opisany wzorem:

Przyjmijmy znormalizowany sygnał informacyjny spełniający $|x_m(t)|\leq 1$. Parametr $f_{\Delta}$ oznacza szczytową dewiację częstotliwości w hercach, $t$ i $t_0$ są wyrażone w sekundach, a $\phi_0$ jest fazą początkową w radianach. Każdy argument funkcji kosinus jest więc bezwymiarowy.

Pochodna fazy podzielona przez $2\pi$ daje częstotliwość chwilową $f_i(t)$ zmodulowanego sygnału w chwili $t$:

Równanie pokazuje liniową zmianę częstotliwości chwilowej wokół częstotliwości nośnej ($f_c$) zgodnie z wartością sygnału modulującego ($x_m(t)$). Parametr $f_{\Delta}$ oznacza dewiację częstotliwości, która określa zmianę częstotliwości dla jednostkowej wartości $x_m(t)$.

Wskaźnik modulacji

W FM wskaźnik modulacji opisuje relację między dewiacją częstotliwości a pasmem sygnału informacyjnego. Nazywa się go wskaźnikiem modulacji (oznaczanym przez $h$ lub $\beta$). Jest to bezwymiarowy stosunek maksymalnej dewiacji częstotliwości do najwyższej częstotliwości sygnału modulującego. Dla pojedynczego tonu jest to $\beta=\Delta f/f_m$, a dla sygnału pasmowego $f_m$ zastępuje się jego szerokością pasma.

• ${\Delta f}_{\text{max}}$ to maksymalna dewiacja częstotliwości, występująca, gdy sygnał modulujący osiąga swoją szczytową amplitudę.
• ${f_m}_{\text{max}}$ to najwyższa częstotliwość występująca w widmie sygnału informacyjnego (np. około 3,4 kHz dla mowy, 15 do 20 kHz dla muzyki Hi-Fi).
• Obie wielkości w ilorazie są częstotliwościami wyrażonymi w hercach, dlatego wskaźnik modulacji nie ma jednostki.

Szerokość pasma i reguła Carsona

Wymagana szerokość pasma FM zależy od wskaźnika modulacji $h$. Wyróżnia się dwa podstawowe przypadki:

• Modulacja wąskopasmowa (NBFM): Występuje, gdy $h \ll 1$. Szerokość pasma sygnału NBFM jest w przybliżeniu równa podwojonej najwyższej częstotliwości sygnału modulującego: $BW \approx 2 \cdot {f_m}_{max}$. Jest to podobne do szerokości pasma w AM.
• Modulacja szerokopasmowa (WBFM): Występuje, gdy $h \gg 1$. WBFM wymaga szerszego pasma i przy właściwym odbiorniku może zapewnić lepszy stosunek sygnału do szumu. Ten wariant stosuje się między innymi w radiofonii FM.

Szacowanie pasma FM: reguła Carsona

Reguła Carsona jest praktycznym przybliżeniem szerokości pasma dla jednotonowego lub pasmowo ograniczonego sygnału FM. Przy typowym kryterium zawartości mocy około 98% mocy sygnału mieści się w paśmie wyznaczonym przez regułę Carsona.

Rzeczywista szerokość zajmowanego pasma zależy od przebiegu modulującego i przyjętego kryterium zawartości mocy.

Przykład: parametry radiofonii FM

Dla przykładowego systemu radiofonii FM w Ameryce Północnej przyjmijmy:

• Maksymalna dewiacja częstotliwości: ${\Delta f}_{max} = 75 \text{ kHz}$
• Maksymalna częstotliwość modulująca dla audio: ${f_m}_{max} = 15 \text{ kHz}$

Wskaźnik modulacji wynosi:

$h = \frac{75 \text{ kHz}}{15 \text{ kHz}} = 5$

Ponieważ $h = 5$ przekracza 1, jest to system szerokopasmowy (WBFM). Następnie z reguły Carsona obliczamy wymagane pasmo:

$BW = 2 \cdot (75 \text{ kHz} + 15 \text{ kHz}) = 2 \cdot (90 \text{ kHz}) = 180 \text{ kHz}$

Kanały radiowe w tym przykładzie mają szerokość 200 kHz, na przykład od 98,1 MHz do 98,3 MHz. Względem przybliżonego pasma 180 kHz pozostaje łącznie 20 kHz marginesu, czyli po 10 kHz z każdej strony częstotliwości środkowej, co ogranicza ryzyko interferencji.

Zalety i wady modulacji FM

Jest to analogowy model FM, dlatego podstawowymi miarami są szerokość pasma, stosunek sygnału do szumu oraz zniekształcenia. BER ma zastosowanie po dodatkowym etapie decyzji cyfrowej, na przykład w FSK.