Próbkowanie

Próbkowanie jako dyskretyzacja czasu

Próbkowanie jest pierwszym etapem konwersji sygnału analogowego na cyfrowy. Polega na rejestrowaniu amplitudy sygnału ciągłego w czasie w regularnie rozmieszczonych chwilach. Wynikiem jest sekwencja próbek reprezentująca sygnał w dyskretnych chwilach.

W telekomunikacji próbkowana jest amplituda fali analogowej, na przykład mowy. Każdy zarejestrowany pomiar jest próbką. Jej wartość pozostaje analogowa do kolejnego etapu, czyli kwantyzacji.

Próbkowanie dyskretyzuje wyłącznie czas. Amplituda pozostaje ciągła do chwili przypisania jej kodu podczas kwantyzacji. Poniższe twierdzenie zakłada równomierne próbkowanie, sygnał ograniczony pasmowo i idealne odtworzenie.

Twierdzenie o próbkowaniu Nyquista-Shannona

Sygnał analogowy ograniczony pasmowo można odtworzyć z równomiernie rozmieszczonych próbek, gdy jego najwyższa częstotliwość leży ściśle poniżej połowy częstotliwości próbkowania. Próbkowanie przy tej granicy lub z mniejszą częstotliwością może powodować nakładanie się widm i aliasing. Warunek ten opisuje twierdzenie o próbkowaniu Nyquista-Shannona.

$f_s > 2 \cdot f_{\text{max}}$

• Częstotliwość próbkowania ($f_s$): Informuje nas, ile próbek jest pobieranych w ciągu sekundy.
• Maksymalna częstotliwość sygnału ($f_{\text{max}}$): Jest to najwyższa częstotliwość zawarta w sygnale, który chcemy zdigitalizować.

Wartość $f_s/2$ jest częstotliwością Nyquista. Dwie próbki na okres wyznaczają granicę warunku idealnego, lecz ich położenie samo w sobie nie gwarantuje odtworzenia sinusoidy. W praktycznych układach częstotliwość próbkowania jest większa, a sygnał wejściowy jest filtrowany przed próbkowaniem. Po konwersji filtr odtwarzający wykonuje odpowiednią interpolację.

Przykład praktyczny: próbkowanie głosu w telefonii

Zalecenie ITU-T G.711 określa częstotliwość próbkowania i długość słowa kodowego dla wąskopasmowej telefonii PCM. Poniższe obliczenie wyjaśnia wybór 8 kHz dla pasma telefonicznego kończącego się w pobliżu 4 kHz.

1. Określenie $f_{\text{max}}$: Wąskopasmowe pasmo telefoniczne określone w zaleceniach ITU-T obejmuje zakres od 300 Hz do 3400 Hz. Przyjmujemy więc $f_{\text{max}} = 3400 \text{ Hz}$. Przy projektowaniu filtru uwzględnia się pasmo sięgające około 4 kHz.
2. Wyznaczenie dolnej granicy próbkowania: Twierdzenie daje $f_s > 2 \cdot 3400 \text{ Hz} = 6800 \text{ Hz}$. W praktycznym układzie wybiera się więc częstotliwość większą niż 6800 Hz.
3. Zastosowanie częstotliwości PCM: Zalecenie ITU-T G.711 określa dla telefonii głosowej 8000 próbek/s (8 kHz). Taka wartość pozostawia pasmo przejściowe dla rzeczywistego filtru wejściowego między pasmem telefonicznym a pierwszą repliką widma.

Odpowiadający tej częstotliwości okres próbkowania ($T_s$) jest czasem między kolejnymi próbkami:

Interwał 125 mikrosekund jest okresem próbkowania strumienia PCM 8 kHz oraz okresem ramki 125 μs stosowanym w podstawowej strukturze SDH/SONET. Przy 8-bitowych próbkach G.711 ten strumień ma 64 kbit/s na kanał głosowy.

Aliasing przy zbyt małej częstotliwości próbkowania

Jeśli sygnał zawiera częstotliwości na poziomie dostępnej granicy lub powyżej niej ($f_s \le 2 \cdot f_{\text{max}}$ dla przyjętego pasma), w próbkach powstaje nieodwracalna niejednoznaczność znana jako aliasing.

Sinusoida o częstotliwości $f$ oraz sinusoida o częstotliwości $|f-kf_s|$ dają po próbkowaniu tę samą częstotliwość po złożeniu do przedziału od 0 do $f_s/2$, dla odpowiedniej liczby całkowitej $k$. Druga składowa jest aliasem pierwszej.

Filtr antyaliasingowy

Aby ograniczyć aliasing, przed próbnikiem umieszcza się analogowy filtr wejściowy. Tłumi on składowe spoza pasma użytecznego, które po próbkowaniu mogłyby aliasować do zachowanego pasma, i ma pasmo przepustowe, przejściowe oraz zaporowe. Taki filtr, czyli filtr dolnoprzepustowy (antyaliasingowy), umieszczony przed układem próbkującym, zachowuje pasmo telefoniczne i tłumi częstotliwości w paśmie przejściowym między pasmem telefonicznym a około 4 kHz dla próbkowania 8 kHz.

Wynik próbkowania: sygnał PAM

Bezpośrednim rezultatem procesu próbkowania jest nowy typ sygnału, nazywany sygnałem o modulacji amplitudy impulsów (PAM). W sygnale PAM amplituda ciągu regularnie rozmieszczonych impulsów jest zmieniana proporcjonalnie do wartości sygnału analogowego w momentach próbkowania. Amplitudy nie zostały jeszcze zastąpione kodami binarnymi.

Idealny impulsowy sygnał PAM jest dyskretny w czasie, natomiast wyjście układu próbkująco-pamiętającego utrzymuje każdą zmierzoną amplitudę przez czas podtrzymania. W obu przypadkach amplituda pozostaje analogowa i może przyjąć dowolną wartość z zakresu wejściowego. Przebieg płaskich impulsów generuje układ zwany układem próbkująco-pamiętającym (S&H). Po próbkowaniu w łańcuchu konwersji A/C następuje kwantyzacja.