Most ze Świata Analogowego do Cyfrowego

Próbkowanie to pierwszy, kluczowy krok w procesie przekształcania sygnału analogowego w sygnał cyfrowy. Przekształca ono sygnał ciągły w czasie w sygnał dyskretny w czasie. Wyobraź sobie, że obserwujesz jadący samochód; próbkowanie jest jak robienie serii zdjęć w idealnie regularnych odstępach czasu. Każde zdjęcie uchwyciło pozycję samochodu w danym momencie, tworząc sekwencję obrazów, która reprezentuje jego podróż.

W telekomunikacji, zamiast samochodu, chwytamy wartość (amplitudę) sygnału analogowego, takiego jak fala dźwiękowa, w tych dyskretnych momentach. Wynikiem jest seria pomiarów nazywanych próbkami.

Złota Zasada: Twierdzenie o Próbkowaniu Nyquista-Shannona

Pojawia się kluczowe pytanie: jak często musimy robić te "zdjęcia", aby móc idealnie odtworzyć oryginalny sygnał analogowy? Jeśli będziemy próbkować zbyt wolno, możemy przegapić istotne zmiany. Odpowiedź leży w jednym z najważniejszych pryncypiów cyfrowego przetwarzania sygnałów: Twierdzeniu o Próbkowaniu Nyquista-Shannona.

$f_s \ge 2 \cdot f_{\text{max}}$

• Częstotliwość Próbkowania ($f_s$): Informuje nas, ile próbek jest pobieranych w ciągu sekundy.
• Maksymalna Częstotliwość Sygnału ($f_{ ext{max}}$): Jest to najwyższa częstotliwość zawarta w sygnale, który chcemy zdigitalizować.

Intuicyjnie oznacza to, że musimy pobrać co najmniej dwie próbki na każdy cykl fali o najwyższej częstotliwości w naszym sygnale – jedną, by uchwycić jej szczyt i jedną, by uchwycić dolinę – aby móc odtworzyć jej kształt.

Przykład Praktyczny: Digitalizacja Głosu dla Telefonii

Twierdzenie Nyquista-Shannona nie jest tylko teorią; definiuje ono fundamentalne parametry telefonii cyfrowej.

1. Określenie $f_{\text{max}}$: Dla zrozumiałej mowy, istotne częstotliwości leżą w zakresie od 300 Hz do 3400 Hz. Dlatego przyjmujemy, że $f_{\text{max}} = 3400 \text{ Hz}$. W praktyce, ze względu na projektowanie filtrów, często rozważa się to pasmo jako 4 kHz.
2. Obliczenie Minimalnej Częstotliwości Próbkowania: Zgodnie z twierdzeniem, minimalna częstotliwość próbkowania musi wynosić $f_s \ge 2 \cdot 3400 \text{ Hz} = 6800 \text{ Hz}$.
3. Ustanowienie Standardu Branżowego: Aby zapewnić margines bezpieczeństwa i uprościć projektowanie filtrów, przemysł telekomunikacyjny ustandaryzował częstotliwość próbkowania dla głosu na 8000 Hz (8 kHz). Jest to fundamentalna wartość w telefonii cyfrowej.

Bezpośrednią konsekwencją tego standardu jest okres próbkowania ($T_s$), czyli czas pomiędzy kolejnymi próbkami:

Ten interwał 125 mikrosekund jest podstawową jednostką czasową w wielu cyfrowych systemach komunikacyjnych, w tym w PCM i SDH/SONET.

Pułapka Zbyt Wolnego Próbkowania: Aliasing

Co się stanie, jeśli zignorujemy twierdzenie Nyquista-Shannona i będziemy próbkować zbyt wolno ($f_s < 2 \cdot f_{\text{max}}$)? W rezultacie powstaje nieodwracalny błąd znany jako aliasing.

Klasyczną analogią wizualną jest „efekt koła od wozu” w filmach. Gdy koło ze szprychami obraca się szybko, jeśli częstotliwość klatek kamery (jej częstotliwość próbkowania) jest zbyt niska, koło może wydawać się obracać powoli w tył, a nawet stać w miejscu. Wysoka częstotliwość obrotu koła została aliasowana do fałszywej, niższej częstotliwości. To samo dzieje się z sygnałami: fala sinusoidalna o wysokiej częstotliwości, jeśli zostanie spróbkowana zbyt wolno, pojawi się w wersji cyfrowej jako zupełnie inna fala o niższej częstotliwości.

Rozwiązanie: Filtr Antyaliasingowy

Aby zapobiec aliasingowi, musimy upewnić się, że żadne częstotliwości powyżej $f_s / 2$ nigdy nie dotrą do próbnika. Osiąga się to, umieszczając filtr dolnoprzepustowy (antyaliasingowy) przed układem próbkującym. W przypadku telefonii, filtr ten odcina wszystkie częstotliwości powyżej około 4 kHz przed próbnikiem 8 kHz.

Wynik Próbkowania: Sygnał PAM

Bezpośrednim rezultatem procesu próbkowania jest nowy typ sygnału, nazywany sygnałem o Modulacji Amplitudy Impulsów (PAM). W sygnale PAM, amplituda ciągu regularnie rozmieszczonych impulsów jest zmieniana proporcjonalnie do wartości sygnału analogowego w momentach próbkowania.

Sygnał ten jest dyskretny w czasie (ma wartości tylko w chwilach próbkowania), ale wciąż analogowy pod względem wartości, ponieważ amplitudy impulsów mogą przyjmować dowolną wartość z zakresu oryginalnego sygnału. Sygnał ten jest generowany przez układ zwany Układem Próbkująco-Pamiętającym (S&H). Sygnał PAM stanowi most do następnego kroku digitalizacji: Kwantyzacji.