Kwantyzacja

Kwantyzacja jako dyskretyzacja amplitudy

Po procesie próbkowania, który dyskretyzuje sygnał w dziedzinie czasu, pozostaje nam seria próbek. Amplituda każdej z tych próbek wciąż może przyjmować dowolną wartość z ciągłego zakresu. Kwantyzacja to proces dyskretyzacji tych amplitud.

Kwantyzacja odwzorowuje duży, często nieskończony zbiór wartości wejściowych na skończony zbiór wartości wyjściowych. Każdą próbkę zaokrągla lub przybliża do najbliższego elementu z góry zdefiniowanego zbioru poziomów kwantyzacji. Otrzymany kod opisuje wyłącznie wybrane poziomy za pomocą skończonej liczby bitów.

Mechanizm kwantyzacji

Kwantyzacja obejmuje dwie operacje: podział zakresu amplitudy na przedziały oraz przypisanie każdej próbki do poziomu.

1. Podział zakresu: Wybrany zakres wejściowy jest dzielony na skończoną liczbę przedziałów kwantyzacji. Szerokość każdego przedziału jest krokiem kwantyzacji ($\epsilon$).
2. Zaokrąglanie i przypisanie: Amplituda każdej próbki jest odwzorowywana na najbliższy dostępny poziom. Próbka o wartości 2,7 V otrzyma poziom 2,5 V, jeśli sąsiednie poziomy wynoszą 2,5 V i 3,0 V. Wartość dokładnie pośrodku, na przykład 2,75 V w tym przykładzie, jest rozstrzygana zgodnie z określoną regułą. Próbki z tego samego przedziału otrzymują ten sam poziom kwantyzacji.

Błąd kwantyzacji i szum kwantyzacji

Kwantyzacja zastępuje próbkę przybliżeniem, więc błąd kwantyzacji jest różnicą między próbką wejściową a jej wartością skwantowaną. W typowym modelu kwantyzatora równomiernego błąd ten opisuje się jako szum kwantyzacji.

• Wielkość błędu: Dla kwantyzatora równomiernego błąd zaokrąglenia do najbliższego poziomu jest ograniczony do połowy kroku kwantyzacji ($\pm \frac{\epsilon}{2}$). Przy założeniu rozkładu jednostajnego i braku korelacji z sygnałem jego wartość skuteczna wynosi $\frac{\epsilon}{\sqrt{12}}$.
• Wpływ na jakość sygnału: Błąd pojawia się jako dodatkowa składowa sygnału. Większa liczba poziomów zmniejsza krok $\epsilon$ i idealny udział kwantyzacji w szumie, co zwiększa idealny Stosunek sygnału do szumu (SNR).

Rozdzielczość i liczba bitów na próbkę

Po kwantyzacji każdy poziom dyskretny otrzymuje kod binarny. Liczba bitów na próbkę określa rozdzielczość konwersji oraz liczbę dostępnych kodów.

Tutaj $L$ oznacza liczbę poziomów kwantyzacji, a $n$ liczbę bitów na próbkę. Dla idealnego przetwornika o zakresie wejściowym od $V_{min}$ do $V_{max}$ jeden LSB jest krokiem:

$\epsilon = \Delta V = \frac{V_{max} - V_{min}}{2^n} = 1\,\text{LSB}$

Wzór stosuje typową konwencję, w której pełny zakres jest dzielony na $2^n$ przedziałów kodowych. Inne konwencje punktów końcowych mogą przesuwać środki kodów i zmieniać sposób traktowania końców zakresu.

Głębia bitowa w praktyce

• Przykład PCM 12-bitowego: Jednostajna reprezentacja PCM o rozdzielczości 12 bitów daje $2^{12} = 4096$ poziomów kwantyzacji. Przy 8000 próbek/s nieskompresowany strumień ma przepływność 96 kbit/s (8000 próbek/s × 12 bitów/próbkę).
• Telefonia PCM według G.711: ITU-T G.711 koduje każdą próbkę w 8-bitowym słowie skompandowanym z użyciem prawa A lub μ. Daje to $2^8 = 256$ słów kodowych oraz przepływność 64 kbit/s (8000 próbek/s × 8 bitów/próbkę) dla jednego kanału głosowego.
• Dźwięk o wysokiej rozdzielczości: Dźwięk CD używa 16 bitów na próbkę, czyli $2^{16} = 65{,}536$ możliwych kodów. W rejestracji profesjonalnej stosuje się także 24 bity na próbkę, aby zwiększyć dostępny zakres dynamiki i zmniejszyć względny szum kwantyzacji.