Kody Powtórzeniowe

Definicja Kodu Powtórzeniowego

Kod powtórzeniowy jest kodem blokowym, który każdemu bitowi wejściowemu przypisuje stały ciąg identycznych symboli. To podstawowa postać korekcji błędów w przód (FEC), ponieważ odbiornik wykorzystuje powtórzone symbole do odtworzenia oryginalnego bitu bez żądania retransmisji.

Dla współczynnika powtórzeń $n$ koder przesyła każdy bit wejściowy $n$ razy. Wprowadza to redundancję, która pozwala odbiornikowi ograniczyć wpływ błędów wprowadzonych przez kanał. Przy nieparzystym $n$ dekoder wybiera większość w każdym bloku, a szybkość kodu wynosi $R = 1/n$.

Kod powtórzeniowy R3: kodowanie i dekodowanie

Częstym przykładem jest kod R3, znany również jako kod powtórzeniowy (3,1). Koder mapuje jeden bit informacyjny na blok trzech identycznych bitów.

• Aby wysłać logiczne '0', nadajnik wysyła sekwencję 000.
• Aby wysłać logiczne '1', nadajnik wysyła sekwencję 111.

Dekodowanie większościowe

Dekoder analizuje każdy trzybitowy blok i wybiera wartość występującą w nim co najmniej dwa razy:

Zdolność Korekcji i Ograniczenia

Kod R3 koryguje pojedyncze odwrócenie bitu w każdym trzybitowym bloku. Głosowanie większościowe odtwarza wtedy bit nadany.

Przykład udanej korekcji:
1. Nadawca chce wysłać: 1
2. Zakodowany i nadany sygnał: 111
3. Szum uszkadza sygnał. Odebrany sygnał: 101
4. Głosowanie większościowe dekodera (dwie jedynki, jedno zero) → Dekodowanie daje poprawną wartość: 1.

Przykład porażki:
Jeśli dwa bity w jednym bloku zostaną odwrócone, większość wskazuje błędną wartość.
1. Nadany sygnał: 111
2. Dwa odwrócone bity zmieniają przewagę większości. Odebrany sygnał: 001
3. Głosowanie większościowe dekodera (jedna jedynka, dwa zera) → Dekoduje błędnie na: 0.

Właściwości Formalne: Odległość Hamminga

Zdolności kodu do obsługi błędów są określone przez jego minimalną odległość Hamminga ($d_{min}$). Dla kodu R3, jedynymi prawidłowymi słowami kodowymi są $000$ i $111$, które różnią się na 3 pozycjach, więc $d_{min}=3$.

• Kod o minimalnej odległości $d_{min}$ wykrywa do $d_{min} - 1$ błędów, jeśli odbiornik sprawdza poprawność słowa. Dla R3 są to $3 - 1 = 2$ błędy.
• Liczba błędów, które kod może skorygować, wynosi $t = \lfloor \frac{d_{min} - 1}{2} \rfloor$. Dla R3 jest to $\lfloor \frac{3 - 1}{2} \rfloor = 1$ błąd.

Dla niezależnego binarnego kanału symetrycznego o prawdopodobieństwie odwrócenia bitu $p$ prawdopodobieństwo błędu bitu po dekodowaniu R3 wynosi $P_e = 3p^2(1-p) + p^3 = 3p^2 - 2p^3$. Wzór zakłada niezależne odwrócenia i dekodowanie większościowe.

Zalety i Wady

Zalety

• Prostota: Są łatwe do zrozumienia, wdrożenia w sprzęcie i analizy.

Wady

• Niska Szybkość Kodu: Szybkość kodu, czyli stosunek bitów informacyjnych do całkowitej liczby przesyłanych bitów, wynosi dla R3 $\frac{1}{3}$. Dwie trzecie transmisji stanowi nadmiar. Wysłanie pliku o rozmiarze 1 MB wymaga przesłania 3 MB danych.
• Ograniczona Korekcja: Kod R3 koryguje jedno odwrócenie w bloku. Dwa lub więcej odwróceń w tym samym bloku przekracza tę gwarancję. Błędy seryjne (burst errors) mogą obejmować wiele takich bloków.
• Zwiększone Opóźnienie i Wymagania Pasma: Przy tej samej szybkości symbolowej trzy razy więcej bitów wydłuża czas transmisji trzykrotnie. Przy tej samej efektywnej szybkości transmisji wymaga też trzykrotnie większej szybkości symbolowej i odpowiedniego pasma.